Energieerhaltungssatz


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Der Energieerhaltungssatz sagt aus, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems sich nicht mit der Zeit ändert. Zwar kann Energie zwischen verschiedenen Energieformen umgewandelt werden, beispielsweise von Bewegungsenergie in Wärme. Es ist jedoch nicht möglich, innerhalb eines abgeschlossenen Systems Energie zu erzeugen oder zu vernichten: Die Energie ist eine Erhaltungsgröße.

Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System bleibt konstant.

Unter einem abgeschlossenen System versteht man ein System ohne Energie-, Informations- oder Stoffaustausch und ohne Wechselwirkung mit der Umgebung.

Der Energieerhaltungssatz lässt sich nicht aus anderen Gesetzmäßigkeiten der Physik herleiten, sondern ist ein Erfahrungssatz, das heißt, er wurde durch die physikalischen Befunde immer wieder bestätigt.

Der Energieerhaltungssatz gilt allerdings nicht in der allgemeinen Relativitätstheorie, wenn sich das Gravitationsfeld im Laufe der Zeit ändert. Im sich ausdehnenden Universum nimmt die Energie der Hintergrundstrahlung durch Rotverschiebung ab, ohne dass diese Energie in eine andere, an jedem Ort messbare Form überführt wird.

Inhaltsverzeichnis

Umgangssprachliche Aspekte

Oftmals wird irrtümlich die Umwandlung von Energieformen mit dem Verlust von Energie identifiziert. Man spricht in diesem Zusammenhang beispielsweise von Energieverbrauch, Energieverschwendung, Energiesparen und Energieverlust. Meist meint man damit den Verlust von technisch leicht nutzbaren Energieformen und damit Phänomene und Probleme, die durch die Entropie bedingt sind. Jene Energiebegriffe sind im physikalischen Sinn aber nicht richtig, da beispielsweise ein Kraftfahrzeug keine Energie verbraucht beziehungsweise vernichtet, sondern lediglich chemische Energie in kinetische Energie und thermische Energie umwandelt. Energie kann nicht aus dem Nichts entstehen und auch nicht in dieses verschwinden. Verschiedene Energieformen, also beispielsweise kinetische Energie, thermische Energie, Strahlungsenergie, Bindungsenergie usw. wandeln sich lediglich ineinander um, sind anschließend allerdings technisch meist deutlich schwieriger weiterzunutzen (siehe hierzu auch Wirkungsgrad).

Geschichte

Als erster hat der Arzt Julius Robert von Mayer (1814-1878) den Energieerhaltungssatz formuliert. Er hat 1842 durch Versuche den Wert des mechanischen Wärmeäquivalents festgestellt und so nachgewiesen, dass sich Bewegungsenergie vollständig in Wärme umwandeln lässt. Endgültig ausformuliert wurde der Energieerhaltungssatz 1847 von Hermann von Helmholtz.

Energieerhaltungssatz in der Newtonschen Mechanik

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld

Bei Bewegung von Teilchen in einem konservativen Kraftfeld ist die Summe von kinetischer Energie T und potentieller Energie V, die Gesamtenergie E = T + V, erhalten. Dabei ist die Kraft der negative Gradient des Potentials \mathbf{F} = - \operatorname{grad} \,V.

Bewegt sich ein Teilchen mit der Zeit t in solch einem Kraftfeld auf beliebigen Wegen \mathbf x(t) von einem Startpunkt zu einem Ziel, so ist für die Arbeit, die dabei am Teilchen verrichtet wird, der Weg unerheblich. Unabhängig vom Weg ist geleistete Arbeit die Differenz der potentiellen Energien an Start und Ziel.

Denn die Arbeit ist das Integral

A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt\ ,\quad \mathbf v = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}\,.

Der Intergrand ist die negative Zeitableitung der potentiellen Energie V(\mathbf{x}(t))

\mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}= -\sum_i \frac{\partial}{\partial x^i}V_{|_{\mathbf x(t)}} \frac{\mathrm d x^i}{\mathrm d t}= - \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\,.

Also ist die Arbeit nach dem Hauptsatz der Integration

A = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt= -\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\, \mathrm dt= -V(\mathbf x(t_2))+V(\mathbf x(t_1))\,.

Dies gilt für alle (stückweise stetig differenzierbare) Bahnen.

Für die Bahnen, die tatsächlich durchlaufen werden, gelten die Newtonschen Bewegungsgleichungen

\mathbf F=m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf v\,.

Da die Masse m konstant ist, gilt für physikalische Bahnen

\begin{align} A &= \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt = m \int_{t_1}^{t_2} \bigl(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)\bigr) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt \\ &= m \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)^2 \mathrm dt = \frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_2)-\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_1) \end{align}

dass die am Teilchen verrichtete Arbeit seine kinetische Energie

T = \frac{1}{2}\,m\,\mathbf v^2

erhöht. Ordnen wir in

-V(\mathbf x(t_2))+V(\mathbf x(t_1))=\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_2)-\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_1)

die Terme um, so erhalten wir den Energieerhaltungssatz

\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_1)+ V(\mathbf x(t_1))= \frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_2)+ V(\mathbf x(t_2))\,.

Kann beispielsweise bei einem Pendel die Reibung vernachlässigt werden, so ändert sich die Summe von potentieller und kinetischer Energie nicht mit der Zeit. Lenkt man das Pendel aus, so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums. An den Umkehrpunkten ist die kinetische Energie Null und die potentielle Energie maximal. Unabhängig von der Position des Pendels hat die Summe aus kinetischer und potentieller Energie den durch die anfängliche Auslenkung vorgegebenen Wert.

Energieerhaltungssatz in der Thermodynamik

Jedes thermodynamische System verfügt über einen bestimmten „Vorrat“ an Energie. Dieser setzt sich aus einem äußeren Anteil Ea und einen inneren Anteil Ei (innere Energie) zusammen. Die Summe aus beiden Anteilen ergibt die Gesamtenergie eines thermodynamischen Systems, wobei man in der chemischen Thermodynamik die Änderung des äußeren Anteils gleich Null setzt (dEa=0). Unter dieser Voraussetzung gelangt man zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

„Die innere Energie ist eine Eigenschaft der stofflichen Bestandteile eines Systems und kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Die innere Energie ist eine Zustandsgröße.“

Für abgeschlossene Systeme gilt daher, dass die innere Energie konstant und demzufolge ihre Änderung gleich Null ist. Für geschlossene Systeme lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

\qquad \mathrm dU= \delta Q + \delta W

Energieerhaltungssatz in der Elektrodynamik

Der Satz von Poynting beschreibt die Energieerhaltung in der Elektrodynamik.

Energieerhaltungssatz in der Relativitätstheorie

Ein relativistisches Teilchen der Masse m, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat die Energie

E(v) = \frac{m\, c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}

wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. In Ruhe beträgt die Energie

E_{\text{Ruhe}} = m\, c^2\,.

Für kleine Geschwindigkeiten (Taylorentwicklung in (v / c)2) kommt zur Ruheenergie die Newtonsche kinetische Energie hinzu

E \sim m\, c^2 +\frac{1}{2}m v^2\,.

Bei hochenergetischen Teilchen ist diese Näherung messbar falsch. Nur die Summe der relativistischen Energien ist in Teilchenreaktionen erhalten.

Energieerhaltungssatz in der Quantenmechanik

Die Energie quantenmechanischer Zustände ist erhalten, wenn der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt. Allerdings sind viele quantenmechanische Zustände, nämliche alle, die sich mit der Zeit messbar ändern, keine Energieeigenzustände. Ihnen kommt nur eine unscharfe Energie zu.

Energieaustausch

Kann ein System Energie mit einem anderen System austauschen, beispielsweise durch Strahlung oder Wärmeleitung, dann spricht man von einem energetisch offenen System. Der Energieerhaltungssatz besagt dabei: Die Energie, die in ein System hineinfließt, minus der Energie, die es verlässt, ist die Änderung der Energie des Systems. Durch Betrachtung der Energieströme des Systems kann man auf Abläufe innerhalb des Systems schließen, auch wenn sie selbst nicht beobachtet werden können.

Die Energie eines Systems lässt sich nicht direkt messen: wenn man von der gravitativen Auswirkung von Energie absieht, so wirken sich nur Energieunterschiede messbar aus.

Noether-Theorem

In der Lagrangeschen Mechanik ergibt sich Energieerhaltung aus dem Noether-Theorem, wenn die Wirkung unter zeitlichen Verschiebungen invariant ist.

Siehe auch

Weblinks







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