Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.) Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.

Schreibweise

Wenn $f : A \rightarrow B$ eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet $f^{-1} : B \rightarrow A$ die Umkehrfunktion. Dabei ist das ⁻¹ nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen.

Der Funktionswert f ⁻¹(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A, das die Gleichung f(x) = y erfüllt.

Beispiele

Sei $A := \{ a, b, c, \ldots , y, z \}$ die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei $B := \{ 1, 2, 3, \ldots , 25, 26 \}$ . Die Funktion $f : A \rightarrow B$ , die jedem Buchstaben die entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist bijektiv und $f^{-1} : B \rightarrow A$ ist gegeben durch $f - 1 (n) =$ „der n-te Buchstabe im Alphabet“.

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die Funktion mit $f (x) = 3 x + 2$ . Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch
$f - 1 (y) = (y - 2) / 3$ .

Sei $\mathbb{R}_0^+ = [ 0, \infty )$ die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und $f : \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+$ mit $f (x) = x 2$ eine eingeschränkte Quadratfunktion. Dann ist f bijektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1} : \mathbb{R}_{0}^{+} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}$ ist gegeben durch
$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

Für $f:\ [0, 1] \to [0, 1]$ mit $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ gilt $f - 1 = f$ .

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.

Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Zielbereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arkusfunktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan).

Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh), Cosinus Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Areafunktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh), Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh).

Eigenschaften

Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d.h.
$(f - 1) - 1 = f$ .

Ist $f : A \rightarrow B$ eine Bijektion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
   $f (f - 1 (x)) = x$ für alle $x \in B$ ,
   $f - 1 (f (x)) = x$ für alle $x \in A$ .
Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen lässt sich dies auch so schreiben:
   $f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B$
   $f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A$ .

Sind $f : A \rightarrow B$ und $g : B \rightarrow A$ zwei Funktionen mit den Eigenschaften
$f (g (x)) = x$ für alle $x \in B$ ,
$g (f (x)) = x$ für alle $x \in A$ ,
dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.

Sind die Funktionen $f : A \rightarrow B$ und $g : B \rightarrow C$ bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung $g \circ f : A \rightarrow C$ . Die Umkehrfunktion von $g \circ f$ ist dann $f^{-1} \circ g^{-1}$ .

Eine Funktion $f : A \rightarrow A$ kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Es gilt dann $f \circ f = \operatorname{id}_A$ und man nennt f eine Involution.

Ist $f : A \rightarrow B$ eine Bijektion, wobei $A$ und $B$ Teilmengen von $\mathbb{R}$ sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt.

Ist $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar, $f'(x) \neq 0$ und $y : = f (x)$ , dann gilt die folgende Umkehrregel:
$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

Berechnung der Umkehrfunktion

Ist $f : A \to B$ eine Funktion und gelingt es, die Gleichung $y = f (x)$ durch Äquivalenzumformung in die Form $x = g (y)$ zu bringen, also äquivalent nach $x$ aufzulösen (wobei $x \in A$ , $y \in B$ und $g: B \to A$ gilt), dann ist $f$ als bijektiv nachgewiesen und die Umkehrfunktion von $f$ (nämlich $g$ ) bestimmt.

Beispiele:

Sei $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f (x) = 2 x - 1$ . Die folgenden Gleichungen sind äquivalent:

$y = 2 x - 1$

$2 x = y + 1$

$x = \tfrac{y+1}{2}$

Die Umkehrfunktion von

f

lautet daher $f^{-1}(y)=\tfrac{y+1}{2}$ . Da es üblich ist, das Argument mit

x

zu bezeichnen, schreibt man auch: $f^{-1}(x)=\tfrac{x+1}{2}$ .

Sei $f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ mit $f(x) = \tfrac{x^2-1}{2x}$ . Die folgenden Gleichungen sind äquivalent (man beachte, dass $x > 0$ gilt):

$y = \tfrac{x^2-1}{2x}$

$2xy = x^2 - 1\$

$x^2 - 2xy - 1 = 0\$

$x = y + \sqrt{y^2+1}$

(Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da

x

als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also: $f^{-1}(y) = y + \sqrt{y^2+1}$

Kategorie: Mathematischer Grundbegriff

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