函數

函數 （简体）

微積分學

微積分基礎 函數 初等函數 極限 數列 級數 夾擠定理 連續 一致連續 間斷點 一元微積分 導數與微分 高階導數 介值定理 中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 洛必達法則 求導法則 乘法定則 除法定則 倒數定則 複合函數求導法則 導數的函數應用 單調性 極值 駐點 拐點 凹凸性 曲率 積分 積分的定義 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 不定積分 積分表 三角函數積分表 反函數積分表 反雙曲函數積分表 對數函數積分表 指數函數積分表 無理函數積分表 有理函數積分表 換元積分法 分部積分法 三角換元法 降次積分法 部分分式積分法 定積分 牛頓-萊布尼茨公式 廣義積分 判別法 柯西判別法 阿貝爾判別法 狄里克雷判別法 主值 柯西主值 β函數 Γ函數 數值積分 牛頓-寇次公式 辛普森積分法 多元微積分 多元函數微分 多元函數 偏導數 隱函數 全微分 方嚮導數 梯度 泰勒公式 拉格朗日乘數 多元函數積分 重積分 二重-三重-多重 廣義重積分 曲線積分 曲面積分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 散度和旋度 微分方程 常微分方程 分離變數法 積分因子 歐拉方法 柯西-歐拉方程 伯努利微分方程 克萊羅方程 全微分方程 線性微分方程 差分方程 拉普拉斯變換法 偏微分方程 拉普拉斯方程 微積分的應用 微積分的幾何應用 平面圖形的面積 平面曲線的切線和弧長 平面曲線的曲率 旋轉體的體積 旋轉曲面的面積 曲面的切平面和法線 空間曲線的切線和法平面 微積分的物理應用 運動的位移、加速度 力所做的功 物質的質量 靜力矩、慣性矩和重心 微積分的經濟應用 邊際 彈性、交叉彈性 收益流的現值和將來值 成本分析、淨資產分析

在數學意義上，一個函數表示每個輸入值對應唯一輸出值。函數f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。

例如，表達式f(x) = x² 表示了一個函數f，其中每個輸入值x都與唯一輸出值x²相聯繫。因此，如果一個輸入值為3，那麼它所對應的輸出值為9。一旦一個函數f被定義，例如，就可以被寫為f(4) = 16。

在數學中，用像f這樣臨時的名字來表述函數是一個不常見的操作；在下一段中我們也許會定義f(x) = 2x+1，那麼f(4) = 9。當不需要函數名稱的時候，我們經常使用y=x²這樣的格式。

如果一個函數經常被使用，它也許會被給予一個永久的名稱，例如，

. 表示x的平方為x².

一個函數的基本特質是，對於每一個輸入值都有唯一輸出值與其對應。因此，例如，

.表示x的平方根為

它並不被定義為一個函數，因為它可能含有兩個輸出值。例如,9的平方根是是3和-3。要將一個平方根定義為一個函數，必須明確地選擇一個平方根。定義

.表示x的正平方根為

對於任何非負輸入值，選擇那個非負的平方根作為它的輸出值。

一個函數並不一定與數字有關。有一個與數字無關函數的例子是，指定每個國家當前的首都，那麼，在這個函數里，

首都（法國）＝巴黎。

一個更精確，但是仍然非正式的定義如下。令A和B為兩個集合。在一個從A到B的函數中，對於A每個元素x，B中都有一個被限定的唯一元素y與其對應。集合A被稱為函數的定義域，而集合B被稱為函數的陪域。

在一些文章——比如lambda 演算——的觀念中，函數可能被認為是原始的、結構不全面、不完整的，而不是被完善的理論所定義的。

在更廣的數學領域內，術語對應、映射、變換通常是函數的同義詞或近義詞。無論如何在一些文章中它們也許會被定義為更多的專業含義。例如，在拓撲里一個對應關係有時被定義成一個連續函數。

目錄 1 概述 2 歷史 3 正式定義 4 定義域、對映域和值域 5 單射、滿射與雙射函數 6 像和原象 7 函數圖像 8 函數例子 9 函數的特性 9.1 歧義函數 10 n-元函數: 多元函數 11 複合函數 11.1 反函數 11.2 限制及擴張 12 點態運算 13 可計算和不可計算函數 14 範疇學中的函數 15 參見 16 外部連接

概述

簡而言之，函數是將唯一的輸出值賦予每一輸入的「法則」。這一「法則」可以用函數表達式、數學關係，或者一個將輸入值與輸出值對應列出的簡單表格來表示。函數最重要的性質是其決定性，即同一輸入總是對應同一輸出（注意，反之未必成立）。從這種視角，可以將函數看作「機器」或者「黑盒」，它將有效的輸入值變換為唯一的輸出值。通常將輸入值稱作函數的參數，將輸出值稱作函數的值。

• 最常見的函數的參數和函數值都是數，其對應關係用函數式表示，函數值可以通過直接將參數值代入函數式得到。如下例，

f(x) = x², x 的平方, 即是函數值。

• 也可以將函數很簡單的推廣到與多個參量相關的情況。例如：

g(x,y) = xy 有兩個參量 x 和 y, 以乘積 xy 為值。與前面不同，這一「法則」與兩個輸入相關。其實，可以將這兩個輸入看作一個有序對 (x, y), 記 g 為以這個有序對 (x, y) 作參數的函數，這個函數的值是 xy。

• 科學研究中經常出現未知或不能給出表達式的函數。例如地球上不同時刻溫度的分佈，這一函數以地點和時間為參量，以某一地點、某一時刻的溫度作為輸出。

• 函數的概念並不局限於數的計算，甚至也不局限於計算。函數的數學概念更為寬泛，而且不僅僅包括數之間的映射關係。函數將「定義域」（輸入集）與「對映域」（可能輸出集）聯繫起來，使得定義域的每一個元素都唯一對應對映域中的一個元素。函數，如下文所述，被抽像定義為確定的數學關係。由於函數定義的一般性，函數概念對於幾乎所有的數學分支都是很基本的。

歷史

函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，以描述曲線的一個相關量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數。此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。

• 1718年，約翰·貝努里（en:Johann Bernoulli）把函數定義為「一個變數的函數是指由這個變數和常量以任何一種方式組成的一種量。」1748年，約翰·貝努里的學生歐拉（Leonhard Euler）在《無窮分析引論》一書中說：「一個變數的函數是由該變數和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式」。例如f(x) = sin(x) + x³。1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」

• 19世紀的數學家開始對數學的各個分支作規範整理。維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，因而更趨向于歐拉的定義。

• 通過擴展函數的定義，數學家能夠對一些「奇怪」的數學對象進行研究，例如不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。

• 到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來規範數學。他們試圖將每一類數學對象定義為一個集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）給出了現代正式的函數定義（參見下文#正式定義）。狄利克雷的定義將函數視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。

正式定義

從輸入值集合X 到可能的輸出值集合Y 的函數f（記作 f : X → Y）是X與Y的關係，滿足如下條件：

1. f 是完全的：對集合X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 滿足x f y （x 與y 是f 相關的）。即，對每一個輸入值，Y 中都有且只有一個與之對應的輸出值。
2. f 是多對一的：若x f y 且x f z ，則y = z 。即，多個輸入可以映射到一個輸出，但一個輸入不能映射到多個輸出。

定義域中任一x 在對映域中唯一對應的y 記為f(x)。

比上面定義更簡明的表述如下：從X 映射到Y 的函數f 是X 與Y 的直積X × Y 的子集。X 中任一x 都與Y 中的y 唯一對應，且有序對(x, y)屬於f 。

X與Y的關係若滿足條件(1)，則為多值函數。函數都是多值函數，但多值函數不都是函數。X與Y的關係若滿足條件(2)，則為偏函數。函數都是偏函數，但偏函數不都是函數。除非特別指明，本百科全書中的「函數」總是指同時滿足以上兩個條件的關係。

考慮如下例子：

	完全，但非多對一。X中的元素3與Y中的兩個元素b 和c 相關。因此這是多值函數，而不是函數。
	多對一，但非完全。 X 的元素1未與Y 的任一元素相關。因此這是偏函數，而不是函數。
	完全且多對一。因此這是從X到Y的函數。此函數可以表示為f ={(1, d), (2, d), (3, c)}，或

定義域、對映域和值域

輸入值的集合X被稱為f 的定義域；可能的輸出值的集合Y被稱為f 的陪域。函數的值域是指定義域中全部元素通過映射f 得到的實際輸出值的集合。注意，把對映域稱作值域是不正確的，函數的值域是函數的對映域的子集。

計算機科學中，參數和返回值的數據類型分別確定了子程序的定義域和對映域。因此定義域和對映域是函數一開始就確定的強制約束。另一方面，值域和實際的實現有關。

單射、滿射與雙射函數

• 單射函數，將不同的變數映射到不同的值。即：若x和y屬於定義域，則僅當x = y時有f(x) = f(y)。
• 滿射函數，其值域即為其對映域。即：對映射f的對映域中之任意y，都存在至少一個x滿足f(x) = y。
• 雙射函數，既是單射的又是滿射的。也叫一一對應。雙射函數經常被用於表明集合X和Y是等勢的，即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應，則說這兩個集合等勢。

像和原象

元素 x∈X在 f 的像 就是 f(x)。

子集 A⊂X 在 f 的像是以其元素的像組成 Y的子集，即

f(A) := {f(x) : x ∈ A}。

注意 f 的值域就是定義域 X 的像 f(X)。在我們的例子裡， {2,3} 在 f 的像是 f({2, 3}) = {c, d} 而 f 的值域是 {c, d}。

根據此定義，f 可引申成為由 X 的冪集（由 X 的子集組成的集）到 Y 的冪集之函數，亦記作 f。

子集 B ⊂ Y 在 f 的原像（或逆像）是如下定義 X的子集：

f ⁻¹(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。

在我們的例子裡，{a, b} 的原像是 f ⁻¹({a, b}) = {1}。

根據此定義，f ⁻¹ 是由 Y 的冪集到 X 的冪集之函數。

以下是 f 及 f ⁻¹ 的一些特性：

• f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂).
• f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂).
• f ⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∪ f ⁻¹(B₂).
• f ⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∩ f ⁻¹(B₂).
• f(f ⁻¹(B)) ⊆ B.
• f ⁻¹(f(A)) ⊇ A.

這些特性適合定義域的任意子集 A, A₁ 及 A₂ 和輸出值域的任意子集 B, B₁ 及 B₂，甚至可推廣到任意子集群的交集和並集。

函數圖像

函數f 的圖像是平面上點對(x,f(x))的集合，其中x取定義域上所有成員的。函數圖像可以幫助理解證明一些定理。

如果X 和Y 都是連續的線，則函數的圖像有很直觀表示，如右圖是立方函數的圖像：

注意兩個集合X 和Y 的二元關係有兩個定義：一是三元組(X,Y,G)，其中G 是關係的圖；二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數 f 等於其圖象。

函數例子

（詳見函數列表）

• 某一特定時刻在中國每一人口與其體重之關係「wght」。
• 每個國家與其首都之關係（若不把多首都國[1]計算在內)。
• 每個自然數 n 與其平方 n² 之關係。
• 每個正實數 x 與其自然對數 ln x 之關係「ln」。注意，對於所有實數 x，ln 其實不是一個函數，因為並不是所有實數在 ln 里都有定義，即是 ln 不是完全 (total) 的。
• 每個在 平面上的點與其和原點 (0, 0) 的距離之關係「dist」
• 每個在 有孔平面 (Puntured plane) 上的點與描述該點受到原點發出的引力的向量。

最常用的數學函數包括加法、減法、乘法、除法、冪、對數、根號、多項式、有理函數、三角函數、反三角函數、微積分等。它們統稱為初等函數-- 但此名的定義會隨使用的數學分支而改變。非初等函數（或特殊函數）包括 Bessel函數和伽傌函數。

函數的特性

函數可分為

• 奇函數或偶函數
• 連續函數或不連續函數
• 實函數或虛函數
• 純量函數或向量函數

歧義函數

歧義函數指可於一條數學等式中找到不少於一個正確答案。例如，4的平方根可以是2或者-2而兩者的平方皆是4。

嚴格來說，歧義函數不完全算是函數，因為數學函數的定義對於一個輸入值只能有唯一一個輸出值。實際上，這樣的「函數」通常被稱為關係式。

大陸的名稱叫多值函數

n-元函數: 多元函數

n-元函數是指輸入值為 n-元組的函數。或者說，若一函數的輸入值域為 n 個集合的積集的子集，這函數就是 n-元函數。例如, 距離函數 dist((x,y)) 是一個二元函數，輸入值是由兩個點組成的序對。另外，多複變函數（即輸入值為複數的多元組）是一個重要的數學課題。

在抽象代數中, 運算元其實都是函數，如乘法 "*" 是個二元函數：我們寫 x*y 其實是 *(x,y)的中綴表達法。

函數式程序設計是一個以函數概念為中心的重要理論範例，其中的運算對象為多元函數，基本語法基於λ演算，而函數的複合（見下）則採用代換來完成。特別地，通過一種稱為Currying的變換，可將多元函數變換為一元函數。

複合函數

函數 f: X → Y 及 g: Y → Z 的複合函數是

g o f: X → Z  :(g o f)(x) = g(f(x))。

舉例, 飛機在 t 時刻的高度是 h(t)，而高度 x 處的氧氣濃度是 c(x)，則在 t 時刻飛機周圍的氧氣濃度是 (c o h)(t)。

若 Y⊂X 則 f 可自我複合; 此時複合函數可記作 f ²（不要與三角學的符號混淆）。函數的冪的定義是對自然數 n 有

f ⁿ⁺¹= f ⁿ o f= f of ⁿ。

反函數

對一個函數 f:X→Y ，若值域 Y 中任何一個元素 y 的原象是唯一的，那麼這個函數就被稱為是雙射的。對任意的 y∈Y 到它的原象f⁻¹(y)的映射，我們稱之為 f 的反函數，記為 f⁻¹。

舉一個反函數的例子，比如 f(x) = x² ，它的反函數是 f(x)⁻¹ = √x 。（啊恩！...你必須指明它的定義域是...如果你說定義域是R，那就錯了）同樣，2x 的反函數是 x/2。反函數是一個函數，它能夠「抵消」它的原函數。參見逆映射。

限制及擴張

給出 Y 的子集 X 以及函數

，

則

f | X(x) = f(x)

稱為 f 在 X 的限制。

反之，若給出函數

則一個定義在 Y 的函數 適合 f | X = g，就是 g 的擴張。

點態運算

設函數 f: X → R 及g: X → R 有 X 為共同的輸入值域及環 R 為共同輸出值域。 我們可以定義「函數和」 f + g: X → R 及「函數積」 f × g: X → R 如下:

(f + g)(x) := f(x) + g(x);

(f × g)(x) := f(x) × g(x);

對於所有 X 中的 x。

這樣子我們得出一個函數組成的環。這是一個抽象性擴張的例子，由此我們由較簡單的結構得出更複雜的。

若然以抽象代數 A 代替 R, 得出的由 X 到 A 的函數集會類似地擁有和 A 相同的代數結構。

可計算和不可計算函數

所有從整數到整數的可計算函數的個數是可數的，這是因為所有可能的演算法個數是可數的。從整數 到整數的函數個數要更多些－和實數個數一樣多，也就是說是等勢的。這說明有些從整數到整數的函數是不可計算的。關於不可計算函數，請參看停機問題和萊斯定理。

範疇學中的函數

函數定義為定義域X與上域Y的關係。而在範疇學中，函數的槪念被擴張成射的槪念。 一個範疇包括一組物件與一組射，每一個射是個有序三元組(X, Y, f)，其中f是從定義域X到上域Y的一個關係，而定義域與上域是範疇內的物件。基於這種解釋，可以把函數看作集合範疇裡面的射。

參見

• Visual Calculus by Lawrence S. Husch, 田納西大學 (2001年)

外部連接

• mysuc.com，經典函數示例
• Wolfram函數網站， 彙集了各數學函數的公式和圖像

• xFunctions 一個多功能的Java小程序，可以顯示函數的圖像，既可以在線使用，也可以下載運行。

• FooPlot

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