数
| 数学的数 |
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自然数 |
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对偶数 |
数是表示一计数或度量的抽象实体。而一个用来表示数的符号称做记数系统。一般而言，记数系统通常被使用在标记（如公路、电话和门牌号码）、序列的指标（序列号）和代码（ISBN）上。在数学里，数的定义延伸至包含如分数、负数、无理数、超越数及复数等抽象化的概念。
起初人们只觉得某部分的数是数，后来随着需要，逐步将数的概念扩大；例如毕达哥拉斯认为，数必须能用整数和整数的比表达的，后来发现无理数无法这样表达，引起第一次数学危机，但人们渐渐接受无理数的存在，令数的概念得到扩展。
数的算术运算（如加减乘除）在抽象代数这一数学分支内被广义化成抽象数字系统，如群、环和域等。
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数的类别
数可以被分类进被称为数系的集合内。对于以符号表示数的不同方式，则请看记数系统。
自然数
最常用的数为自然数，有些人指正整数，有些人则指非负整数。前者多在数论中被使用，而在集合论和计算机科学中则多使用后者的定义。
在十进制数字系统里，自然数的标记符号为0至9等十个位数，将以十为基数的进位制使用在大于九的数上。因此，大于九的数会有两个或两以上的位数。表示所有自然数的集合为
。
整数
负数是小于0的数，通常在其前面加上一负号，来表示其为正数的对立。例如，若一个正数是用来表示距一定点右边多少的距离，则一个负数即表示距此定点左边多少的距离。相似地，若一正数表示一银行存款，则一负数即表示一银行提款。负整数、正整数和零三者即合称为整数
(德语Zahl的缩写)。
有理数
有理数是指一可以被表示成整数分子和非零整数分母的分数的数。分数m/n代表一被分做相同的n份，再取m份后的量。两个不同分数可能会对应到相同的有理数，如1/2和2/4是相同的。若m的绝对值大于n的话，其分数的绝对值会大于一。分数可以是正的、负的、或零。所有分数所组成的集合包含有整数，因为每一个整数都可以写成分母为1的分数。有理数的符号为
(quotient的缩写)。
实数
不严谨地说，实数可以和一连续的直线视为同一事物。所有的有理数都是实数，同样地，实数一样可以分成正数、零和负数。
实数可以被其数学性质独特地描绘出：它是唯一的一个完备全序域。但它不是个代数闭域
十进制数是另一种能表示数的方式。在以十为底的数字系统内，数可以被写成一连串的位数，且在个位数右边加上句号(小数点)(在美国和英国等地)或逗号(在欧洲大陆)，负实数则在再前面加上一个负号。以十进制标记的有理数，其位数会一直重复或中断(虽然其后面可以加上任意数量的零)，而0是唯一不能以重复位数定义的实数。例如，分数 5/4 能够写做中断位数的十进制数 1.25，也能写做重复位数的十进制数 1.24999...(无限的9)。分数 1/3 只能够写做 0.3333...(无限的3)。所有重复与中断的十进制数定义了也能被写成分数的有理数。而不条像重复与中断的十进制数一般，非重复且非中断的十进制数代表无理数，不能被写成分数的数。例如，著名的数学常数，π(圆周率)和
都是无理数，表示成十进制数 0.101001000100001...的实数也是无理数，因为其表示不会重复，也不会中断。
实数由所有能被十进制数表示的数所组成，不论其为有理数或无理数。另外，实数也可以分为代数数和超越数，其中超越数一定是无理数且有理数一定是代数数，其他则不一定。实数的符号为
。实数可以被用来表示量度，而且对应至数线上的点。当量度只可能精准至某一程度时，使用实数来表示量度总是会有一些误差。这一问题通常以取定一适当位数的有效数字来处理。
复数
移动到更多程次的抽象化时，实数可以被延伸至复数 
。历史上，此数的诞生源自于如何将负数取平方根的问题。从这一问题，一个新的数被发现了：负一的平方根。此数被标记为i，由莱昂哈德·欧拉介绍出的符号。复数包含了所有有a+bi形式的数，其中a和b是实数。当a为零时，a+bi被称为虚数。相同地，当b为零时，a+bi为实数，因为它没有虚数部份。一个a和b为整数的复数称为高斯整数。复数是个代数闭域，即任一复数系数的多项式都能有复数解。复数也可以对应至复数平面上的点。
上述就提到的各个数系，每个都是下一个数系的子集。 以符号来表示的话，即为
。
其他类型
Superreal, hyperreal and surreal numbers 以加上无限小和无限大两种数来延伸实数，但依然是体。
表示方式
记数系统
数和以符号来表示数的记数系统不同。五可以表示成十进制数5和罗马数字。记数系统在历史上的重要发展是进位制的发展，如现今的十进位制，可以用来表示极大的数。而罗马数字则需要额外的符号来表示较大的数。
历史
整数的历史
第一个数
- 更多资料：记数系统#历史
数的第一次使用可回溯到大约西元前三万年前，当计数符号被旧石器时代的人使用的时期。现今所知最早的一个例子在南非的一个洞穴内。[1]此一系统没有进位制的概念(如现今所用的十进位制)，这使得它表示大数的能力受到了限制。现今所知最早有进位制的系统则是美索不达米亚的六十进位制(约西元前3400年)，而最早的十进位制在西元前3100年的埃及。[2]
0的历史
把零当成数来使用和其在进位制中当占位标记不同。许多的古印度人使用梵文Shunya来指虚无这一概念，而在数学文章内，这一词则常被拿来指零这一数。[3]巴腻尼(Pāṇini，西元前5世纪)在其以梵文写形式文法的书－八章书(Ashtadhyayi)里，使用了无效(零)算子。
文献显示古希腊似乎不确定零做成一个数的地位：他们问自己"无物如何变成有物"，因而导致有趣的哲学问题。在中世纪时，零和真空的性质和存在甚至成了宗教上的争论。埃利亚人芝诺的悖论很大一部份便依靠在对零不确定的解释上。(古希腊人甚至怀疑过1是否是一个数。)
墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零，其时间可能是在西元前4世纪，但较肯定的是在西元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历的一部份，但完全没有影响到旧大陆的记数系统。
西元130年时，托勒密被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号(小圆圈加上一长上标线)所影响，将其使用在希腊数字上。因为它只是单独使用，而非做为一占位符，希腊的零是旧大陆第一个做为书写使用的真正的零。而在之后的拜占庭抄本上，希腊的零才演变成了希腊字母Ο(另外它也有70的意思)。
另一真正的零在西元525年被使用在以罗马数字编制的表格上(戴奥尼索斯‧艾克西古斯是现知第一位使用者)，但当时是使用意思为无物的一个名词nulla，而非一个符号。当除法把零视为余数时，则使用另一意思也是无物的词nihil。中世纪的零被所有中世纪计算复活节的计算家们使用着。其首字母 N 的单独使用是在西元725年由圣比德或其同僚在罗字数字的表格上使用，一个真正的零的符号。
零的一个早期书写使用是于西元628年由婆罗摩笈多(写于宇宙的开始(Brahmasphutasiddhanta))所使用的。他把零视为一个数，并讨论包含零的运算，包括除法。在同一时期(西元七世纪)，其概念已很清楚地传到了柬埔寨，后来显示其观念的文书更传到了中国和伊斯兰世界。
负数的历史
负数的抽象概念早在西元前100年至50年间就被确认过了。中国的九章算术里就提到寻找图形面积的方法：以红色棒子来标记正数，黑色来标记负数。这是负数在东方最早被提及的记录。而西方的第一次论述则是在西元三世纪的希腊，丢番图在其著作Arithhmetica里提及一个和4x + 20 = 0(其解为负数)相等的方程，且说这个方程会给出荒谬的解答。
在西元七世纪间，负数在印度被用来表示负债。丢番图先前的论述被印度数学家婆罗摩笈多在宇宙的开始中讨论的更详尽，他使用负数来产生公式解，到现在还依然被使用着。但到了西元12世纪的印度，婆什迦罗第二在得出一元二次方程的负根之后，却还说这一负值“在此例不被采用，因为它不适合；人们不会同意有负根的。”
大多数的欧洲数学家直到西元十七世纪仍不接受负数的概念，虽然斐波那契允许负数在金融问题上被解释为负债，后来又允许视为损失。负数在欧洲的第一次被使用是在西元十五世纪被尼古拉斯．丘凯所使用的。他把负号加上数的右上方(幂的位置)上来表示负数，但也说这些负数是“荒谬的数”。有人甚至用(-1):1=1:(-1)这个比例式来反对引进负数这个概念，在这个比例式中，大数比小数等于小数比大数。
直到十八世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉相信负数会大于无限[来源请求]，而且一般的实作应该忽略任何由题目导出的负数，因为它们是无意义的。
有理数、无理数和实数的历史
有理数的历史
有理数的概念，相信起源于史前时期。就连古埃及的数学手稿中已经出现了将一般的分数转换成古埃及分数的方法。古希腊和古印度数学家也将有理数理论的研究作为一般数论研究的一部分。 其中最有名的是公元前300年左右的欧几里德的几何原本。在古印度手稿中与此最为相关的则是研究数论的en:Sthananga Sutra。
小数的概念与十进制记号有紧密的关系;它们似乎是串联地发展的。 比如说，在印度耆那教的箴言集就提到了π和or the square root of two.
复数
- 更多资料：Complex number#History
最早但短暂论及负数平方根的是在西元一世纪希腊数学家和发明家希罗的工作中，当他在思考一金字塔可能的平截头体体积时。复数在西元十六世纪开始变得很显著，因为意大利数学家(见塔塔利亚和卡尔达诺)所发现三次及四次多项式的公式解。这一公式很快就被知道，而即使只注意实数解的部份，有时也会有需要操作负数平方根的时候。
这使人感到双倍的不安，因为当时连负数都不被认为是很牢固的了。虚(imaginary)这一词因此在1637年被笛卡尔创造出来，并且带有些许贬义(参考虚数中讨论复数真实性的部份)。更令人困惑的来源是等式
似乎任性地不和代数恒等式
相合，而这一代数恒等式却是在a和b都是正数时成立，而且也在a和b一正一负时可以被使用在复数计算上。这一恒等式(和另一相关的恒等式
)在a和b皆为负数时的错误使用甚至使得莱昂哈德·欧拉感到迷惑。这一困难最终导致他使用一特别的符号i来取代
来警惕此一错误。
观看十八世纪时亚伯拉罕·棣·美弗和莱昂哈德·欧拉的工作。棣美弗于西元1730年完成了以他为名的著名公式，棣美弗定理：
复数的存在在西元1799年由卡斯帕尔·韦塞尔提出了几何解释之前都没有被完全地接受，这一解释在几年后被高斯重新发现并普及，结果使复数理论得到了显要的扩张。复数图像表示的概念早在1685年便在沃利斯的De Algebra tractatus一书中提及。
也是在1799年，高斯提出了第一个广为人接受的代数基本定理证明，表示任一复数系数多项都有完全的复数解。复数理论被广泛地接受，奥古斯丁·路易·柯西和尼尔斯·阿贝尔的工作也占了很大的功劳，尤其是后者，他是第一个大胆成功使用复数的人。
高斯研究过高斯整数(a + bi中的a和b是整数或有理数)。而其学生费迪南·艾森斯坦则研究过a + bω中的ω是x3 − 1 = 0复数根的类型。其他种类的复数还有由较大k值的单位根xk − 1 = 0推出的类型。其普遍化大部份归功于恩斯特‧库默尔的工作，他也引进了理想数的概念，它在1893年被菲利克斯·克莱因表示成几何实体。体的一般理论由埃瓦里斯特·伽罗瓦创造出来，他主要在研究由多项式方程F(x) = 0产生出来的体。
西元1850年，皮瑟成功地把极点(pole)和分支点(branch point)区别出来，而且引起了数学奇点的概念，这一概念最终导致出了黎曼球的概念。
另见
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