计算机代数系统

计算机代数系统 （正體）

计算机代数系统（英文：Computer Algebra System，简称 CAS）是进行符号运算的软件。这种系统的要件是数学表示式的符号运算。

目录 1 表示式的类别 2 符号运算 3 其它功能 4 历史 5 几种计算机代数系统 6 文献

表示式的类别

表示式的例子包括：

• 多变元多项式
• 标准函数（三角函数、指数函数等等）
• 特殊函数（Γ函数、Bessel函数等等）
• 由各种表示式合成的函数
• 表示式的导函数、积分、和与积
• 以表示式为系数的级数
• 表示式构成的矩阵

符号运算

以下是几种典型的符号运算：

• 表示式的简化
• 对表示式求值
• 表示式的变形：展开、积、幂次、部份分式表法、将三角函数表为指数函数等等。
• 对单变元或多变元的微分。
• 带条件或不带条件的整体最佳化。
• 部份或完整的因式分解。
• 求解线性方程组或一些非线性方程式。
• 某类微分方程或差分方程的符号解。
• 求某些函数的极限值。
• 一些函数的定积分或不定基分，包括多变元的情形。
• 泰勒展开式、罗朗展开式与 Puiseux 展开式
• 某些函数的无穷级数展开式。
• 对某些级数求和。
• 矩阵运算。
• 数学式的显示，通常借着 TeX 之类的系统达成。

其它功能

通常计算机代数系统还能进行一些数值运算：

• 函数的确切求值。
• 高精度求值，例如计算 2^{1 / 3} 到小数点后 10000 位。
• 线性代数的数值运算。
• 描绘二维或三维的函数图形。

在数值运算方面，计算机代数系统的速度通常较 Matlab、GNU Octave或C语言中以同等方式实作的程式慢。这是因为计算机系统几乎总是对符号表示式运算，故不能充分利用CPU的既有指令。

许多计算机代数系统内建高阶编程语言，以供使用者扩充功能，或设置个人的操作模式。

历史

Martin Veltman 是这个领域的先驱，他首先考虑了在高能物理中的应用。他在1963年设计的第一个程式叫 Schoonship （荷兰文，意指“干净的船”）。

最早受到欢迎的系统是 Reduce、Derive 与 Macsyma，现在仍然可取得。Macsyma 的一个GNU通用公共许可证发行的版本叫作 Maxima，现在仍有维护。市场的龙头为 Maple 与 Mathematica，两者被数学家、科学家及工程师们广泛采用，此外还有 MuPAD 与 MathCad。

另有一些系统着眼于特定的应用领域，这些系统通常在学院中被设计、发展及维护，例如交换代数系统 Macaulay 2 或数论系统 PARI/GP。

几种计算机代数系统

• Mathematica
• Maple
• Maxima
• Meditor
• MuPAD
• MAGMA
• Xcas / Giac
• Yacas
• Mate

文献

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification. Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972.

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