贝塞尔曲线

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三次方贝塞尔曲线

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

实例说明

线性贝塞尔曲线

给定点 P₀、P₁，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0 + (\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)t=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]$

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P₀、P₁、P₂ 的函数 B(t) 追踪：

$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1]$ 。

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

三次方贝塞尔曲线

P₀、P₁、P₂、P₃ 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P₀ 走向 P₁，并从 P₂ 的方向来到 P₃。一般不会经过 P₁ 或 P₂；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P₀ 和 P₁ 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P₃ 之前，走向 P₂ 方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^3+3\mathbf{P}_1t(1-t)^2+3\mathbf{P}_2t^2(1-t)+\mathbf{P}_3t^3 \mbox{ , } t \in [0,1]$ 。

现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

$n$ 阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点 P₀、P₁、…、P_n，其贝塞尔曲线即

$\mathbf{B}(t)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =\mathbf{P}_0(1-t)^n+{n\choose 1}\mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+\cdots+\mathbf{P}_nt^n \mbox{ , } t \in [0,1]$ 。

例如 $n = 5$ ：

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^5+5\mathbf{P}_1t(1-t)^4+10\mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10\mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5\mathbf{P}_4t^4(1-t)+\mathbf{P}_5t^5 \mbox{ , } t \in [0,1]$ 。

如上公式可如下递归表达：用 $\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}$ 表示由点 P₀、P₁、…、P_n 所决定的贝塞尔曲线。则

$\mathbf{B}(t) = \mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}(t) = (1-t)\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_{n-1}}(t) + t\mathbf{B}_{\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2\ldots\mathbf{P}_n}(t)$

用平常话来说， $n$ 阶的贝塞尔曲线，即双 $n - 1$ 阶贝塞尔曲线之间的插值。

术语

一些关于参数曲线的术语，有

$\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{P}_i\mathbf{b}_{i,n}(t),\quad t\in[0,1]$

即多项式

$\mathbf{b}_{i,n}(t) = {n\choose i} t^i (1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n$

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 0⁰ = 1。

点 P_i 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P₀ 并以 P_n 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

注解

开始于 P₀ 并结束于 P_n 的曲线，即所谓的端点插值法属性。
曲线是直线的充分必要条件是所有的控制点都位在曲线上。同样的，贝塞尔曲线是直线的充分必要条件是控制点共线。
曲线的起始点（结束点）相切于贝塞尔多边形的第一节（最后一节）。
一条曲线可在任意点切割成两条或任意多条子曲线，每一条子曲线仍是贝塞尔曲线。
一些看似简单的曲线（如圆）无法以贝塞尔曲线精确的描述，或分段成贝塞尔曲线（虽然当每个内部控制点对单位圆上的外部控制点水平或垂直的的距离为 $4\left(\sqrt{2} -1\right)/3$ 时，分成四段的贝塞尔曲线，可以小于千分之一的最大半径误差近似于圆）。
位于固定偏移量的曲线（来自给定的贝塞尔曲线），又称作偏移曲线（假平行于原来的曲线，如两条铁轨之间的偏移）无法以贝塞尔曲线精确的形成（某些琐屑实例除外）。无论如何，现存的启发法通常可为实际用途中给出近似值。

建构贝塞尔曲线

线性曲线

线性贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P₀ 至 P₁ 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P₀ 至 P₁ 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t，B(t) 描述一条由 P₀ 至 P₁ 的直线。

二次曲线

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q₀ 和 Q₁ 作为由 0 至 1 的 t：

由 P₀ 至 P₁ 的连续点 Q₀，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 P₁ 至 P₂ 的连续点 Q₁，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 Q₀ 至 Q₁ 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。


二次贝塞尔曲线的结构		二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

高阶曲线

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲次，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲线描述的点 R₀、R₁ 所建构：


三次贝塞尔曲线的结构		三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次贝塞尔曲线描述的点 R₀、R₁、R₂，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S₀、S₁ 所建构：


四次贝塞尔曲线的结构		四次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

（还可参阅五阶贝塞尔曲线的构成。）

应用

电脑绘图

Image:Bézier curve in Adobe Illustrator CS2.png

Bézier path in Adobe Illustrator CS2

Image:BezierInterpolation.gif

Example of two cubic Bézier curves patched together (solid) compared to a 6th degree Bézier curve

贝塞尔曲线被广泛地在计算机图形中用来为平滑曲线建立模型。

二次和三次贝塞尔曲线最为常见

程式范例

下列程式码为一简单的实际运用范例，展示如何使用 C 标出三次方贝塞尔曲线。注意，此处仅简单的计算多项式系数，并读尽一系列由 0 至 1 的 t 值；实践中一般不会这么做，递归求解通常会更快速——以更多的内存为代价，花费较少的处理器时间。不过直接的方法较易于理解并产生相同结果。以下程式码已使运算更为清晰。实践中的最佳化会先计算系数一次，并在实际计算曲线点的循环中反复使用。此处每次都会重新计算，损失了效率，但程式码更清楚易读。

曲线的计算可在曲线阵列上将相连点画上直线——点越多，曲线越平滑。

在部分架构中，下以程式码也可由动态程式设计进行最佳化。举例来说，dt 是一个常数，cx * t 则等同于每次反覆就修改一次常数。经反覆应用这种最佳化后，循环可被重写为没有任何乘法（虽然这个过程不是稳定数值的）。

/*
 產生三次方貝茲曲線的程式碼
*/

typedef struct
{
    float x;
    float y;
}
Point2D;

/*
 cp 在此是四個元素的陣列:
 cp[0] 為起始點，或上圖中的 P0
 cp[1] 為第一個控制點，或上圖中的 P1
 cp[2] 為第二個控制點，或上圖中的 P2
 cp[3] 為結束點，或上圖中的 P3
 t 為參數值，0 <= t <= 1
*/

Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
{
    float   ax, bx, cx;
    float   ay, by, cy;
    float   tSquared, tCubed;
    Point2D result;

    /* 計算多項式係數 */

    cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
    bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
    ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;

    cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
    by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
    ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;

    /* 計算位於參數值 t 的曲線點 */

    tSquared = t * t;
    tCubed = tSquared * t;

    result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
    result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;

    return result;
}

/*
 ComputeBezier 以控制點 cp 所產生的曲線點，填入 Point2D 結構的陣列。
 呼叫者必須分配足夠的記憶體以供輸出結果，其為 <sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/

void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve )
{
    float   dt;
    int	    i;

    dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );

    for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
        curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
}

另一种贝塞尔曲线的应用是在动画中，描述物件的运动路径等等。此处，曲线的 x、y 位置不用来标示曲线，但用来表示图形位置。当用在这种形式时，连续点之间的距离会变的更为重要，且大多不是平均比例。点将会串的更紧密，控制点更接近每一个点，而更为稀疏的控制点会散的更开。如果需要线性运动速度，进一步处理时就需要循所需路径将点平均分散。

有理贝塞尔曲线

有理贝塞尔增加可调节的权重，以提供更近似于随意的形状。分子是加权的伯恩斯坦形式贝塞尔曲线，而分母是加权的伯恩斯坦多项式的总和。

给定 n + 1 控制点 P_i，有理贝塞尔曲线可如下描述：

$\mathbf{B}(t) = \frac{ \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}w_i } { \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) w_i }$

或简单的

$\mathbf{B}(t) = \frac{ \sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}\mathbf{P}_{i}w_i } { \sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}w_i }$

参阅

de Casteljau算法
样条
贝塞尔样条
贝塞尔曲面
贝塞尔三角
NURBS
string art，Bézier curves are also formed by many common forms of string art, where strings are looped across a frame of nails.
埃尔米特曲线

参考文献

Paul Bourke: Bézier curves, http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/
Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellent discussion of implementation details; available for free as part of the TeX distribution.
Dr Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf
J.D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice in C (2nd ed., Addison Wesley, 1992)

外部链接

贝塞尔曲线互动 applet
三阶贝塞尔曲线 applet
即时数学贝塞尔 applet
各种样条类型的即时数学贝塞尔 applet，样条的 JAVA 程式设计在交互式介绍样条
Don Lancaster 的三次方样条库，叙述如何用贝塞尔曲线画出近似圆（或圆弧、双曲线）；使用三次方样条进行影像插值，并说明曲线背后的数学原理。
埃立克·魏尔斯史甸于MathWorld中所述之贝塞尔曲线。
Module for Bezier Curves by John H. Mathews
二次方贝塞尔曲线的建构，交互式 applet 显示如何建构二次方贝塞尔曲线。（需要 Java）
三次方贝塞尔曲线的建构，交互式 applet 显示如何建构三次方贝塞尔曲线。（需要 Java）
贝塞尔 / 抛物线，交互式 applet 显示二次方贝塞尔曲线和抛物线之间的关系。（需要 Java）
PolyBezier，微软Win32 图形设备接口 API函式，可在Windows图形应用程式中绘制贝塞尔曲线，如MS Paint。
找出双贝塞尔曲线所有的交叉点，找出双贝塞尔曲线之间的交叉点是一件困难的一般性问题，because of the variety of degenerate cases. By Richard J. Kinch。
SketchPad，使用 C 和 Win32 撰写的小程式，实作出建立和编辑贝塞尔曲线的功能。也示范使用 de Casteljau 算法切割贝塞尔曲线。
Hermite与Bezier曲线绘制方法
北斗星君简介贝塞尔曲线
CAD/CAM基础于逆向工程技术之研究，36 页：3-1 Bezier 曲线/曲面之数学式。

2个分类: 样条 | 插值论

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二次方贝塞尔曲线

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