费米-狄拉克统计

统计力学

$S = k_B \, \ln\Omega$

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费米-狄拉克统计是费米子所依从的统计规律。

根据量子力学，费米子为自旋为半奇数的粒子，其本征波函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。因而符合费米-狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布 $\left\{ n_j \right\}$ （“某一分布”指这样一种状态：即在能量为 $\left\{ \epsilon_j \right\}$ 的能级上同时有 $n j$ 个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：

$\Omega_j=\frac{g_j!}{n_j!(g_j-n_j)!}$

**服从F-D统计的两个粒子在三重简并态下的分布**
状态1	状态2	状态3
A	A
	A	A
A		A

费米-狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：

$\left\{ n_j^{FD} \right\}=\frac{g_j e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}{1 + e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}$

由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。

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