整数分解
数学中，整数分解问题是指：给出一个正整数，将其写成几个素数的乘积。例如，给出45这个数，它可以分解成32 ×5。根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。
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因子分解
完整的因子列表可以根据素数分解推导出，将幂从零不断增加直到等于这个数。例如，因为45= 32×51，45可以被30 ×50，30×51，31×50，31×51，32×50，和32×51，或者 1，5，3，9，15，和 45整除。相对应的，素数分解只包括素数因子。参见素数分解算法。
实际应用
给出两个大素数，很容易就能将它们两个相乘。但是，给出它们的乘积，找出它们的因子就显得不是那么容易了。这就是许多现代密码系统的关键所在。如果能够找到解决整数分解问题的快速方法，几个重要的密码系统将会被攻破，包括RSA公钥算法和Blum Blum Shub随机数发生器。
尽管快速分解是攻破这些系统的方法之一，仍然会有其它的不涉及到分解的其它方法。所以情形完全可能变成这样：整数分解问题仍然是非常困难，这些密码系统却是能够很快攻破。有的密码系统则能提供更强的保证：如果这些密码系统被快速破解（即能够以多项式时间复杂度破解），则可以利用破解这些系统的算法来快速地（以多项式时间复杂度）分解整数。换句话说，破解这样的密码系统不会比整数分解更容易。这样的密码系统包括 Rabin密码系统（RSA的一个变体），以及 Blum Blum Shub 随机数发生器。
当今的新进展
2005年，作为公共研究一部分的有663个二进制数位之长的RSA-200已经被一种一般用途的方法所分解。
如果一个大的，有n个二进制数位长度的数是两个差不多大小相等的素数的乘积，现在还没有很好的算法来以多项式时间复杂度分解它。
这就意味着没有已知算法可以在O(nk)（k为常数）的时间内分解它。但是现在的算法也是比Θ(en)快的。换句话说，现在我们已知最好的算法比指数数量级时间要快，比多项式数量级时间要慢。已知最好的渐近线运行时间是普通数域筛选法(GNFS)。时间是：
对于平常的计算机，GNFS是我们已知最好的对付n个二进制数位大素数的方法。不过，对于量子计算机， 彼得·肖 在1994年发现了一种可以用多项式时间来解决这个问题的算法。如果大的量子计算机建立起来，这将对密码学有很重要的意义。这个算法在时间上只需要O(n3)，空间只要O(n)就可以了。 构造出这样一个算法只需要2n量子位。2001年，第一个7量子位的量子计算机第一个运行这个算法，它分解的数是15。
难度与复杂度
现在还不确切知道整数分解属于那个复杂性等级。
我们知道这个问题的判定问题形式（“请问N是否有一个比M小的因子?”）是在NP与co-NP之中。因为不管是答案为是或不是，我们都可以用一个质因子以及该质因子的质数证明来验证这个答案。由 肖 的算法，我们得知这个问题在BQP中。大部份的人则怀疑这个问题不在P、NP-Complete、以及co-NP-Complete这三个复杂性类别中。如果这个问题可以被证明为NP-Complete或co-NP-Complete，则我们便可推得NP=co-NP。这将会是个很震憾的结果，也因此大多数人猜想整数分解这个问题不在上述的复杂性类别中。也有许多人尝试去找出多项式时间的算法来解决这个问题，但是都尚未成功，因此这个问题也被多数人怀疑不在P中。
有趣的是, 当判定问题为“N是否为一合数？”则比要找出N的因子这个问题要简单的许多。有文章[1]指出前者这个问题可以在多项式时间中解决（其中n为N的位数）。若允许微小的失误，更有许多的随机化算法可以非常快速的测试出一个数是否为质数。测试一个数是否质数不难，这是RSA算法中非常重要的一环，因为它在一开始的时后需要找很大的质数。（参见素性测试）。
整数分解算法
特殊用途算法
一个特别的因子分解算法的运行时间依赖它本身的未知因子：大小，类型等等。在不同的算法之间运行时间也是不同的。
- 试除法
- Lenstra 椭圆曲线分解法
- 费马分解方法
- 特殊数域筛选法
一般用途算法
一般用途算法的运行时间仅仅依赖要分解的整数的长度。这种算法可以用来分解RSA数。大部分一般用途算法基于平方同余方法。
- Dixon's algorithm
- 连分数分解法 (CFRAC)
- 二次筛选法
- 普通数域筛选法
其他值得注意的算法
- Shor's algorithm（量子电脑）
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