连通空间

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R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的，下面的空间 B 是不连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质。在拓扑学以及相关的数学分支里面，一个拓扑空间被认为是连通的，如果它不能够被分成两个不相交的非空开集，并且这两个集合的并集为整个空间。相应的，也可以从闭集的角度定义连通性：一个连通的拓扑空间不能够被分成两个不相交的非空闭集(因为开集的补集正是闭集)，并且这两个集合的并集为整个空间。一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。

连通单元

拓扑空间的极大连通子集称作连通单元，每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。连通单元必然是闭的，在够好的空间（如流形、代数簇）上也同时是开的，但并非总是如此。例如有理数集上的连通单元都是单元素集合。如果一个空间的连通单元都是单元素集合，则叫做全不连通空间。代数数论中构造的许多拓扑空间都属于这一类。

道路连通

R² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个路径。

如果对空间 $X$ 中任两点 $x, y$ ，都存在连续函数 $\gamma: [0,1] \to X$ 使得 $γ(0) = x,γ(1) = y$ ，则称 $X$ 为道路连通空间。若定义中的 $γ$ 可取为使得 $[0,1] \to \gamma([0,1])$ 为同胚，则称之为弧连通空间。道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

道路连通性保连通性，反之则不然。

局部连通

一个拓扑空间被认为是局部连通的，如果空间中的每一点的任何一个邻域都包含这个点的一个连通邻域。这里所说的连通邻域，就是指这个邻域所诱导的子拓扑空间按照上面的定义是一个连通空间。也可以从拓扑基的角度定义局部连通空间：局部连通空间的拓扑基完全是由连通的集合组成的。

例子

拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里德空间 $\mathbb{R}^2$ 中定义集合
$S = \{ (x, \sin\frac{1}{x} ) | x \in (0,1] \}$
和
$T = \{ (0, y) | y \in [0,1] \}$
。考虑 $S\cup T$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是局部连通的。

引用

Munkres, James R.（2000）．Topology, Second Edition．Prentice Hall．ISBN 0-13-181629-2．
埃立克·魏尔斯史甸于MathWorld中所述之Connected Set。
V. I. Malykhin (2001), "Connected space", in Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, ISBN 978-1556080104

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