量子态


量子态 （正體）

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量子力学
\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}

入门
数学表述
旧量子力学
基础概念

量子态 • 波函数 • 态矢量
波粒二象性 • 不确定性原理
量子测量 • 泡利不相容原理
埃伦费斯特定理 • 穿隧效应
量子脱散 • 量子缠结
实验

戴维森-革末实验
斯特恩-盖拉赫实验
双缝实验 • 薛定谔的猫
EPR 悖论 • 波普尔实验
表述

薛定谔绘景 • 海森堡绘景
相互作用绘景 • 矩阵力学
路径积分表述
方程

薛定谔方程 • 泡利方程
克莱因-高登方程
狄拉克方程
进阶理论

量子场论 • 量子引力
量子电动力学 • 费曼图
量子色动力学
量子力学诠释

哥本哈根诠释 • 量子逻辑
隐变量 • 关系性量子力学
多世界诠释 • 系综诠释
一致性历史 • 交易诠释
意识导致波函数塌缩
科学家

普朗克　玻尔　薛定谔
海森堡　泡利　德布罗意
埃伦费斯特　玻姆　玻恩
爱因斯坦　冯·纽曼　费曼
狄拉克　埃弗里特　其他
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在量子力学里，量子态抽象地设定了一个量子系统的物理状态。当我们描述一个量子系统时，我们希望能够既简易、又明确地描述这个量子系统的各种物理状态，怎样从一个物理状态变换到另外一个物理状态。量子态的概念可以帮助我们达到这目标。量子态是一个抽象的术语。我们用量子态来表明，一个量子系统的物理状态。

每一个量子态都可以用存在于希尔伯特空间的态矢量来表示。有时候，因为物理作用，一个量子态会变换到另外一个量子态。这过程可以用态矢量的数学来表达。物理学家常用狄拉克标记来标记量子态或态矢量。量子态或态矢量的线性组合可以描述量子态的干涉现象。

目录

概念

物理状态

让我们先从经典力学的一个例子，来探索一个物理系统的状态与相关概念。试想一个物理系统，里面有一个质量为 m\,\! 的粒子，自由地移动于一维空间。假设，在时间 t=0\,\! ，粒子的位置 q\,\! 是 q_0\,\! ，动量 p\,\! 是 p_0\,\! 。这些初始条件设定了系统的状态 \sigma_0\,\! ，标记为 \sigma_0= (p_0,\,q_0) \,\! 。

过一段时间，在 t>0\,\! ，我们试着测量这粒子的运动参数。在这个简单的物理系统里，我们能够测量的物理量，基本上是它的位置 q(t)\,\! 与动量 p(t)\,\! 。其它物理量的都是这两个物理量的函数。这里，我们称可以被测量的物理量为可观察量。

知道系统在 t=0\,\! 状态 \sigma_0\,\! ，应用牛顿运动定律，我们可以计算出可观察量在任何时间 t>0\,\! 的量值。这量值应该完全符合我们测量的结果。标记这些计算的量值为 \langle p(t) \rangle_{\sigma_0}\,\! 与 \langle q(t) \rangle_{\sigma_0}\,\!。 在我们这个简单的例子里，粒子以等速移动。因此

\langle p(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0\,\! ，
\langle q(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0 t+q_0\,\! 。

现在，假设粒子的位置的初始条件是概率密度函数 f(q)\,\! ，动量的初始条件是概率分布函数 g(p)\,\! 。这两个概率分布函数完全地描述这物理系统的状态 \sigma_0\,\! 。可观察量 q(t)\,\! 与 p(t)\,\! 变成随机变量。任何测量的结果都是随机的，无法准确地预测。可是，假若，给予一个系综的同样的物理系统，对于每一个物理系统做同样的测量，得到的结果会呈概率分布。我们可以预测可观察量在 \sigma_0\,\! 状态的期望值。标记 p(t)\,\! 的期望值为 \langle p(t) \rangle _\sigma\,\! 。

量子态

一个量子态的某些性质，可以经过测量而得知其物理量。这些可以得知的物理量，称为可观察量。所有可观察量的概率分布设定了量子系统的量子态。

本征态

假若，对于许多同样的量子态的某一个可观察量做测量，结果都一样。那么，这量子态是这个可观察量的本征态，又称确定态。量子态可以是几个本征态的叠加。一个可观察量的本征态可能不是另外一个可观察量的本征态。既然，实际上，我们只能得知一个量子系统的每一个可观察量。

假若，一个量子态不是一个可观察量的本征态，对于这量子态的这个可观察量的测量，答案是概率性的；也就是说，给予一个系综许多相同的量子系统，每一个量子系统的量子态都一样，都是某个可观察量的很多不同的本征态的叠加，对于这可观察量做同样的测量，获得的答案可以表达为概率分布。这是量子力学与经典力学之间，大不相同的一点。在经典力学里，测量的结果本质上是决定性的，而不是概率性的。

对于任何可观察量 A\,\! ，我们通常可以制备一个本征态 \sigma_A\,\! 。对于这本征态 \sigma_A\,\! 的可观察量 A\,\! 所做的一个测量，获得的结果是明确的。给予一系综这样的系统，对于每一个本征态 \sigma_A\,\! 的可观察量 A\,\! 所做的测量，答案都是一样的。本征态 \sigma_A\,\! 又称为 A\,\! 的本征态。

假设一个量子系统的量子态 \sigma\,\! 原本不是 A\,\! 的本征态。那么，对于这量子态的可观察量 A\,\! 所做的一个测量，会将量子态塌缩为 A\,\! 的一个本征态 \sigma_A\,\! ，测量的结果是这本征态的本征值 a\,\! 。假若我们立刻再测量可观察量 A\,\! ，由于量子态仍旧是同样的本征态 \sigma_A\,\! ，所得到的测量值也是同样的本征值 a\,\! 。

思考两个不相容可观察量 A\,\! 与 B\,\! 。假设一个量子系统原本处于 B\,\! 的本征态 \sigma_B\,\! 。假若我们只测量 B\,\! ，我们不会发现到任何统计行为。可是假若我们先测量 A\,\! ，量子系统会塌缩成 A\,\! 的本征态 \sigma_A\,\! 。假若，我们立刻再测量 B\,\! ，我们会得到统计性的答案。

薛定谔绘景或海森堡绘景

在前面的讲述，可观察量 P(t)\,\! ， Q(t)\,\! 可以相依于时间，而量子态 \sigma\,\! 则不相依于时间。这方法称为海森堡绘景。我们可以等价地使可观察量不相依于时间，又使量子态相依于时间。这方法是薛定谔绘景。概念上，这两种绘景是等价地。两种绘景都常常用在量子力学。非相对论性量子力学通常表述于薛定谔绘景，而在相对论性状况，像是量子场论，则海森堡绘景是比较喜好的方法。

量子力学形式论

主条目：量子力学的数学表述

量子态是希尔伯特空间的射线

量子力学通常表述于线性代数。在一个量子系统里，每一个量子态都对应于希尔伯特空间的一个矢量，称为态矢量。假若，一个矢量是另外一个矢量的标量倍数，则这两个矢量都对应于同样的量子态。（换句话说，每一个量子态都是希尔伯特空间的一个射线）。

或者，我们只准许归一化的矢量代表量子态。这样，所有量子态的集合对应于希尔伯特空间的单位球。假若，两个归一化态矢量，唯一的不同处是它们的相位因子。那么，这两个态矢量仍旧对应于同样的量子态。

狄拉克标记

主条目：狄拉克标记

在量子力学里，数学运算时常用到线性算符，内积，对偶空间，与厄米共轭。为了让运算更加简易，避免更深入研读线性代数的需要，保罗·狄拉克发明了一种标记法，狄拉克标记。这标记法能够精确地表达量子态。简略表述如下：

  • 矢量标记形式为 |\psi\rangle\,\! ；其中 \psi\,\! 可以用任何符号，字母，数字，或单字。这与通常的数学标记显然地不同。通常，矢量以粗体字母，或者在上方加了一支矢号的字母来标记。
  • 称矢量为右括矢量。
  • 每一个右括矢量 |\psi\rangle\,\! ，都独特地伴随一个左括矢量 \langle\psi|\,\! ，这两个矢量都对应于同样的量子态。
  • 两个矢量的内积，可以写为 \lang \psi_1|\psi_2\rang\,\! 。

单粒子系统的基底量子态

与任何矢量空间一样，设定一个希尔伯特空间的正交归一的基底量子态，|{k_i}\rang \qquad i=1,\,2,\,3,\,\ldots\,\! 。那么，任何右括矢量 |\psi\rang\,\! 可以展开为这基底量子态的线性组合。

| \psi \rang = \sum_i c_i |{k_i}\rangle\,\! ；

其中，系数 c_i\,\! 是复值系数。

用物理术语来描述， |\psi\rang\,\! 是量子态 |{k_i}\rang\,\! 的叠加。由于这基底满足正交归一性，

c_i=\lang {k_i} | \psi \rang\,\! ，
\sum_i |c_i|^2 = 1\,\! 。

在量子力学的测量问题里，这种展开式占有很重要的角色。特别是，假若 |{k_i}\rang\,\! 是一个可观察量 k\,\! 的本征值为 k_i\,\! 的本征态。那么，对于量子态 |\psi\rang\,\! 的可观察量 k\,\! 的一个测量，得到的结果为 k_i\,\! 的概率是 |c_i|^2\,\! 。

一个常见的例子是位置基底。这个基底是由位置这可观察量的本征态构成的。假若这些本征态是不兼并的，那么，每一个右括矢量 |\psi\rang\,\! 都对应于一个三维空间的复值函数：

\psi(\mathbf{r}) \equiv \lang \mathbf{r} | \psi \rang \,\! 。

这函数称为对应于 |\psi\rang\,\! 的波函数。

态叠加原理

主条目：态叠加原理

设定 |\alpha\rangle\,\! and |\beta\rangle\,\! 为两个不同的量子态。它们的线性叠加 c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang\,\! 是另外一个量子态（尚未归一化）。思考 \theta\,\! 为实值的量子态 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! ，虽然与 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! 对应于同样的量子态，他们并无法互相替换。可是， |\phi\rang+|\psi\rang\,\! 和 e^{i\theta}(|\phi\rang+|\psi\rang)\,\! 肯定地对应于同样的量子态。我们可以这样说，整体的相位因子并无物理性质，但相对的相位因子的物理性质很重要。

双缝实验草图，从光源 a\,\! 散发出来的单色光，照射在一座有两条狭缝 b\,\! 与 c\,\! 的不透明挡墙 S2\,\! 。在挡墙的后面，设立了一个照相底片或某种侦测屏障 F\,\! ，用来纪录到达 F\,\! 的任何位置 d\,\! 的光波数据。最右边黑白相间的条纹，显示出光波在侦测屏障 F\,\! 的干涉图案

例如，在双缝实验里，光子的量子态是两个不同的量子态的叠加。其中一个是通过狭缝 b\,\! 的量子态。另外一个是通过狭缝 c\,\! 的量子态。光子抵达侦测屏障的位置 d\,\! ，这位置离开两条狭缝的距离之差值 bd-cd\,\! ，与两个量子态的相对的相位有关。而这相对的相位，在侦测屏障的某些位置，又造成了建设性干涉，或摧毁性干涉。

另外一个例子，拉比振动，可以显示出相对相位在量子态叠加中的重要性。这是一个双态系统。假若系统的两个本征态的本征能级不一样，那么，因为态叠加的相对相位随着时间而改变，叠加后的量子态会反来复去的震动于两个本征态的线性组合。

纯态与混态

主条目：纯态

前面所讲述的量子态都是纯态，可以用一个右括矢量来代表。一个混态是一个系综的纯态。混态是用一个密度矩阵，或密度算符，来描述。密度矩阵可以描述纯态和混态。用方程来定义，

\rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |\,\! ；

其中，\rho\,\! 是密度矩阵，p_s\,\! 是纯态 |\psi_s\rangle\,\! 在系综里所占的比例。

我们可以用一个很简单的公式，来判断一个密度矩阵，到底是描述纯态还是混态。首先，必须将量子态归一化。假若，矩阵的迹值 tr(\rho^2)=tr(\rho)=1\,\! ，则所描述的是纯态；否则，假若 tr(\rho^2)<1\,\! ，则所描述的是纯态。另外一个等价的判断式用冯诺伊曼熵来决定量子态的种类：纯态的冯诺伊曼熵是 0 ;而混态的冯诺伊曼熵则大于 0 。

在量子力学里，测量的规则可以特别简单的用密度矩阵来表达。举例而言，对应于一个可观察量 A\,\! 的一个测量的期望值是

\langle A \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)\,\! ；

其中，|\alpha_i\rangle\,\! 是A\,\! 的本征态，a_i\,\! 是本征值。

特别注意，在这里，一共发生了两种不同的平均运算。一种是纯态的基底右括矢量 |\psi_s\rangle\,\! 的量子平均。另外一种是个统计平均，每一个量子态 |\psi_s\rangle\,\! 的概率是 p_s\,\! 。

我们也可以用这些不同的平均运算，来判断纯态或混态：纯态是量子态相干的叠加；而混态是量子态不相干的叠加。

参阅

参考文献

  • Isham, Chris J.（1995）．Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations．Imperial College Press．ISBN 978-1860940019．  经典物理态与量子态的的比较。
  • Bratteli, Ola，Robinson, Derek W.（1987）．Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1．Springer．2nd edition．ISBN 978-3540170938．  更详细的数学讲述。






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