集合


集合 （正體）

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消歧義
本文讲述的是的元素是数学上的元素。关于化学元素，详见“元素”。
此条目没有列出任何参考或来源。（2008年8月31日）
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集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，记作 x ∈ A。

集合是现代数学中一个重要的基本概念。集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，在小学时就开始学习了。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍；更详细的分析可见朴素集合论。对集合进行严格的公理推导可见公理化集合论。

目录

导言

定义

非正式的，一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。一般来说，集合为具有某种属性的事物的全体，或是一些确定对象的汇合。构成集合的事物或对象称作元素或成员。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。

符号

集合通常表示为大写字母 A， B， C……。而元素通常表示为小写字母a,b,c……。元素a属于集合A,记作a\inA。假如元素a不属于A，则记作a\notinA。

如果两个集合 A 和 B 它们各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B。

集合的特点

  • 无序性
在同一个集合里面的每一个元素的地位都是相同的，所以元素的排列是没有顺序的。
  • 互异性
在同一个集合里面每一个元素只能出现一次，不能重复出现。
  • 确定性
定制集合的标准是确定的而不是含糊的，如全国全体较高的男生，这里的较高没有标准是含糊的。

集合的表示

  • 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：
A = 大于零的前三个自然数
B = 红色、白色、蓝色和绿色
  • 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：
C = {1, 2, 3}
D = {红色，白色，蓝色，绿色}

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

  • 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号 \varnothing 表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = \varnothing。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。

如果集合含有有限个元素，那么这个集合可以称为有限集。

集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

子集

主条目：子集

如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。 若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。

B 的子集 A

举例：

  • 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
  • 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集：

  • \varnothing ⊆ A
  • A ⊆ A

并集

主条目：并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。

两个集合可以相"加"。A 和 B 的并集（联集），写作 A ∪ B，是或属于 A 的、或属于 B 的所有元素组成的集合。

A 和 B 的并集

举例：

  • {1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}
  • {1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

并集的一些基本性质

  • A ∪ B   =   B ∪ A
  • A  ⊆  A ∪ B
  • A ∪ A   =  A
  • A ∪ \varnothing   =  A

交集

主条目：交集

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。

若 A ∩ B  =  \varnothing，则 A 和 B 称作不相交。

A 和 B 的交集

举例：

  • {1, 2} ∩ {红色, 白色} = \varnothing
  • {1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

交集的一些基本性质

  • A ∩ B   =   B ∩ A
  • A ∩ B   ⊆   A
  • A ∩ A   =   A
  • A ∩ \varnothing   =   \varnothing

补集

主条目：补集

两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集（余集），写作 A′或CUA。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

举例：

  • {1, 2} − {红色, 白色} = {1, 2}
  • {1, 2, 绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
  • {1, 2} − {1, 2} = \varnothing
  • 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数

补集的基本性质：

  • A ∪ A′ = U
  • A ∩ A′ = \varnothing
  • (A′)′ = A
  • A − B = A ∩ B′

对称差

见对称差。

集合的其它名称

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

  • 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

公理集合论

把集合看作“一堆东西”会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

类

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。

定义 类A如果满足条件“\exists B(A\in B)”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参见







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